contact meTerima Kasih sudah berkunjung dan berkontribusi

Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya?

Pagi – pagi setelah berdiskusi tentang sebuah penelitian, tiba – tiba teringat dengan salah satu tool yang sangat sederhana dan banyak sekali digunakan. Rata – rata , rerataan, average, dan semacamnya. Rata- rata adalah sebuah nilai yang mewakili sekumpulan data. Jadi fungsi rata – rata adalah penting karena mencerminkan nilai didalam grup. Sebagai contoh kecilnya jika rapot sekolah anda rata-ratanya 5, kemungkinan banyak pelajaran disekolah yang mendapat nilai merah. Tapi jangan buru – buru buka raport sekolah ya…

Berbekal pengetahuan pelatihan dua tahun lalu yang menggunakan rata – rata geometrik, saya mencoba mencari pedoman singkat tentang penggunaan rata – rata geometrik dan aritmatik. Kapankah kita seharusnya menggunakan rata-rata aritmatik, dan kapankah harus menggunakan rata – rata geometrik. Alih –alih mendapat jawaban yang pas, saya mendapat istilah rata- rata yang lain, yakni rata- rata harmonik. Sulit menemukan secara gamblang mengapa harus rata- rata geometrik, dan mengapa harus rata – rata aritmatik. Kebanyakan pakar menjelaskan contohnya bukan konsep. Contoh penggunaan rata – rata aritmatik adalah nilai sekolah, dan rata – rata penggunaan geometrik adalah nilai investasi, kecepatan, ratio. Pertanyaan mengapa memilih rata – rata tersbeut belum sepenuhnya terjawab.

Mumpung masih pagi, iseng membuat sebuah riset kecil mengapa pengusaha lebih senang menggunakan rata- rata geometrik untuk menghitung keuntungan usahanya ketimbang menggunakan rata- rata aritmatik, dan ternyata …

Tunggu dulu, sebelum itu saya akan merangkum definisi dari ketiga rataan tersebut, khususnya bagi pembaca yang belum mengetahui definisi dan cara perhitungan rata – rata aritmatik, geometrik, dan harmonik. Bagi yang sudah tau definisi ketiganya, silahkan scroll kebawah saja.

Rata – rata aritmatik

Rumus rata rata aritmatik sudah sangat umum diketahui masyarakat, pelajar, apalagi mahasiswa. Rata – rata ini yang muncul di raport yang menentukan siswa tersebut rangking atau tidak di dalam kelas.

 Screenshot_1-1 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik   Atau bisa juga diartikan dengan :

Screenshot_2 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

Tidak perlu saya beri contoh ya… anada bisa membayangkan sendiri misalnya rata – rata tinggi siswa, rata – rata umur (umur bisa dirata – rata ya?), rata – rata tingkat pendidikan, dan lain sebagainya.

Rata – rata geometrik

Cara perhitungan rata – rata geometrik ada dua cara untuk data tunggal. Selain data tunggal ada juga data berkelompok. Namun, saat ini saya akan menjelaskan data tunggal.

Cara pertama adalah dengan mengalikan semua nilai yang ada, kemudian diakarkan dengan pangkat jumlah n dalam kumpulan data tersebut

Dapat diterangkan dengan rumus:

Screenshot_3 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

 Cara ini akan mudah dilakukan jika jumlah data tidak terlalu banyak. Namun jika data sudah puluhan atau ratusan, tentu tidak akan mudah mengalikan semua nilai di kumpulan data tersebut. Maka digunakanlah cara kedua yakni dengan bantuan logaritma. Semua nilai pada data dilog-kan terlebih dahulu, kemudian lakukan rumus rata – rata aritmatik.

Rumusnya adalah sebagai berikut:

Screenshot_4 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

Rata – rata harmonik

Rata – rata harmonik merupakan kebalikan dari rata – rata aritmatik. Pada aritmatik, jumlah semua data di bagi dengan n data, maka pada rata – rata harmonik, n data di bagi dengan jumlah pecahan semua data (1/xi). Untuk lebih jelasnya perhatikan rumus berikut:

Screenshot_5 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

Jadi jika ada nilai 2, 3, 4, 5; maka rata rata tersebut adalah:

Secara aritmatik = 3.50

Secara geometrik = 3.31

Secara harmonik = 3.12

Lalu apa bedanya sih? Selisihnya juga tidak terlalu banyak kan? Jika itu pertanyaan anda, maka itu adalah pertanyaan dua jam yang lalu sebelum saya membuat sedikit riset mengapa harus ada rata – rata geometrik dan mengapa lebih ngetrend di dunia investasi ketimbang nilai anak sekolah.

Artikel menarik lainnya  Mengenal Dummy Dalam Regresi

Rata – rata geometrik vs rata – rata aritmatik

Agar mudah dipahami karakteristik ketiga dari rata – rata ini, saya mencoba membuat simulasi singkat terhadap 2 data, kemudian saya hitung nilai rata – rata aritmatik, geometrik, dan harmonik. Kemudian hasil dari nilai tersebut saya buat  grafiknya.

Dua data yang saya maksudkan bukan data yang acak. Namun sengaja saya buat dengan jarak yang lebar dan berangsur – angsur pendek jaraknya, sampai nilai kedua data tersbeut sama, kemudian kembali lagi berangsur membesar.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

06 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

hanya ada 2 data yang saya ambil nilai rata – ratanya, yakni data 1 dan data 2. Kedua data ini memang sengaja saya buat memiliki jarak yang lebar, pada n = 1, nilai data 1 sama dengan 100 dan nilai data 2 adalah 2. Kemudian data tersebut secara perlahan lahan diperkecil jaraknya.

Dari kedua data itu saya hitung nilai rata – rata aritmatik, geometrik, dan harmonik. Tampak pada gambar tersebut rata – rata aritmatik memiliki garis yang lurus dari awal sampai akhir. Berbeda dengan aritmatik, geometrik ( warna kuning) memiliki pola kudratik. Rendah di awal kemudian naik dengan perlahan hingga titik puncak, kemudian turun kembali. Hampir sama dengan geometrik harmonik juga memiliki pola kuadratik namun memiliki sudut yang lebih curam dibandingkan geometrik.

Untuk membandingkan geometrik dan aritmatik, perhatikan gambar berikut:

07 Rata – Rata Aritmatik, Geometrik, dan Harmonik. Apa Bedanya? statistik rata - rata geometrik average artimatik

Pada gambar tersebut jelaslah terlihat bahwa perbedaan antara aritmatik dan geometrik terletak pada nilai gap antara kedua data yang saya buat rata – rata. Rata – rata aritmatik tidak sensitif terhadap perbedaan atau gap tersebut, sehingga nilainya selalu sama dari awal hingga akhir. Ini menandakan bahwa jika ada sekumpulan data yang kemudian memiliki data pencilan yang tinggi dibandingkan data – data yang lain, maka data pencilan tersebut akan sangat mempengaruhi rata – rata kelompok.

Berbeda dengan aritmatik, geometrik lebih peka terhadap nilai gap tersebut. Di bagian awal, nilai rata – rata geometrik tampak rendah, kemudian semakin meningkat seiring dari pengurangan gap kedua. Kemudian nilai rata – rata geometrik sama dengan nilai rata – rata aritmatik pada saat gap kedua nilai adalah 0, tidak ada gap sama sekali.

Rata – rata geometrik cocok digunakan jika kita sebagai peneliti menekankan pada gap setiap data yang dimiliki. Atau dengan kata lain, kita menginginkan adanya peningkatan dari nilai yang paling rendah, karena nilai tertinggi pada kelompok tersebut tidak terlalu berpengaruh.

Hal ini sangat bisa dipahami dengan struktur rumus dari rata – rata geometrik. X1 dikali X2 dan seterusnya. Kemudian diakar pangkat n. Bayangkan jika salah satu nilainya 0 atau 1 atau nilai rendah lainnya. Hasil nilai rata – rata nya pasti akan sangat rendah. Hal itu tidak berpengaruh pada aritmatik yang hanya menjumlahkan, sehingga tidak mempengaruhi nilai lainnya. Mungkin ada pengaruhnya, namun tidak sebesar pada rata – rata geometrik.

Menjawab contoh geometrik yang biasa diberikan para blogger lainnya, tentang investasi. Terlepas dari rumusnya yang memang cocok menggunakan rata – rata geometrik, secara logika dengan pembahasan yang sudah saya utarakan, jelaslah pengusaha akan lebih memilih rata – rata geometrik untuk mencerminkan kegiatan investasinya.

Jika ada pengusaha yang memiliki tingkat bunga investasi yang tinggi, katakanlah 80% kenaikannya. Wow… namun ditahun sebelumnya pengusaha tersebut bangkrut, atau hanya memiliki tingkat bunga 10%.  Rata – rata aritmatika mendapatkan nilai 45 persen, sedangkan rata – rata geometri mendapatkan 28%. Kira – kira apakah dengan pencapaian 80% tersebut, lalu banyak investor akan menawarkan sahamnya ke pengusaha tersebut? Belum tentu…  investasi adalah jangka yang panjang, sehingga penilaiannya bukan hanya tahun berjalan, melainkan tahun sebelumnya juga, dan banyaknya kegagalan akan mempengaruhi kinerja tersebut. Pencerminan nilai kegagalan itu sangat cocok menggunakan rata – rata geometri. Kenapa saya jadi bahas bisnis ya? Dulu saya sempat sekolah di bisnis.

Jadi semua tergantung dari peneliti itu sendiri, apakah menggunakan aritmatik atau geometrik. Jika rumus rata – rata tersebut dapat diturunkan dari rumus awal perolehan nilai, maka ada pembuktian kuat, contoh investasi dan kecepatan. Investai memiliki rumus dan rata – rata investai bisa dibperoleh dari membuka rumus invesati tersebut, menambhakan komponennya didalam rumus, dan menemukan nilai investasi yang baru hasil penggabungan beberapa nilai. Ini yang umum dilakukan jika tidak mau menggunakan rata – rata aritmatik. Jadi, pemilihan rata – rata bisa dibuktikan dengan turunan rumusnya.

Namun, bagaimana dengan data primer? Dengan sebaran yang beragam, atau berdasarkan karakteristik dari sebaran data tersebut, tidak salahnya peneliti memilih rata- rata geometri jika itu memenag dibutuhkan, seperti kondisi contoh yang saya tuliskan pada pagi ini. Saya justru berpikir harusnya standar rata – rata nilai murid di sekolah menggunakan geometri. Hal ini mendorong sekolah untuk memperkecil siswa yang tidak lulus atau memperkecil siswa yang memilki nilai dibawah standar. Hehehehe…

Rata – rata harmonik hampir mirip dengan geometrik namun memiliki nilai yang paling kecil dibandingkan rata – rata lainnya. Jika investasi merupakan contoh umum dari geometrik, maka harmonik biasanya diberi contoh kecepatan. Contoh tersebut sudah dibuktikan melalui turunan rumusnya.

Terima Kasih

Selamat Belajar.

Bantu Share ya..!

Add a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *